2007年1月12日 星期五

三個門

我一直都覺得機率類的問題非常的困難,因為就算算出來了,覺得自己一定一百分了,看了答案才會想到:啊!又忘了算這個了。總是要看了才想到。而又有一類的機率問題更困難,有點遊走在傳統學校教的機率規則的邊緣,利用機率的盲點。就算是對機率真的很清楚,很快的算出來,不過總是會質疑自己到底有沒有算對。因為雖然數字上很漂亮,可是邏輯上總覺得怪怪的,不敢相信這個答案。「兩隻貓」就是有點這類型的。

下面這一題的答案乍看之下很神奇,邏輯上好像怪怪的,就和「綁著地球的繩子」這題一樣,有點不可思議。後來我還寫了些模擬程式,甚至和我爸爸沙盤演練了好多次,最後才一再地證明答案是正確的。每次問這題還有「兩隻貓」,很多人都會有爭議,總是得花很多時間來證明跟說服。有人只接受邏輯的推論,有些人只相信數學的證明。這些年下來,透過這些爭論,我自己倒是學到最多的。

好吧!廢話夠了。問題目吧!

`現在有三扇門,一個主持人和一個觀眾。主持人在觀眾不知道的情況下,放了一個寶物在其中一扇門的後面。所以現在有一扇門後面有寶物,而另外兩扇門後面是空的,主持人很得意。

這時候觀眾可以任意選擇一扇門。選好了以後,主持人會很奸詐在另外沒被選到的兩扇門中,開啟其中一扇後面是空的的門。所以現在有一扇空的門是開的。而兩扇關的門中,有一扇是觀眾之前選的。就在觀眾正慶幸沒選到那扇空的的門的同時,主持人提出了一個讓觀眾換門的機會。觀眾可以在開下一扇門前,選擇要保留原來選的門,或是換到另一扇還沒開的門。

問:這時候這位觀眾要怎麼做才會有最大的機會選到寶物?換?不換?還是沒差?`

當你想到答案後,請再想一下喔!其實解法非常簡單,只是有盲點而已。

9 則留言:

Hehe 提到...

沒差.

fishbudin 提到...

嘿嘿~一般來說這樣的題目的答案都不會是沒差,不然的話這題也沒什麼意思了。請好好的想想喔~當然,解釋為什麼才是最重要的,不然就便選擇題啦!

小飛 提到...

我的想法是, 先從一開始的機率說起, 一開始觀眾在不知情的情況下, 會選到沒有寶物的門的機率是2/3, 在這種情況下, 若主持人把沒選到的另一扇空門給打開, 而觀眾又選了換門, 就會換到寶物。因此不管一開始選到什麼門, 只要後來選擇換就會有2/3的機會換到寶物。若選擇不換就只有一開始選到寶物這種情形可以得到寶物。

pill 提到...

個人認為:『要換』
換,贏的機率為50%
不換,贏的機率只有33%

因為如果堅決不換,
那麼第二次交換的事件便不存在。
那麼猜對的機率顯而易見為1/3

如果選擇換:
那麼第一次猜對沒換:
機率為0.33*0.5=0.165
那麼第一次猜對但是換:
機率為0.33*0.5=0.165
那麼第一次猜錯沒換:
機率為0.67*0.5=0.33
那麼第一次猜錯但是換:
機率為0.67*0.5=0.33

因為換,造成可能猜對的機率為0.16+0.33=0.5

fishbudin 提到...

有點怪怪的,因為 50% + 33% 不等於 100%

pill 提到...

被這麼一提醒,發現原本想的方向錯了:

那麼第一次猜對沒換:
機率為0.33*0.5=0.166
那麼第一次猜對但是換:
機率為0.33*0.5=0.166
那麼第一次猜錯沒換:
機率為0.67*0.5=0.33
那麼第一次猜錯但是換:
機率為0.67*0.5=0.33

沒換的贏率=對沒換/沒換
=0.166/(0.166+0.33)=0.33
換的贏率=錯但是換/換
=0.33/(0.166+0.33)=0.66

因此,換的贏率,是不換贏率的兩倍。

fishbudin 提到...

哈哈 厲害 你到是第一個把它全算出來的人。

pill 提到...

後來再想一下,發現這個答案是錯的。

我們知道
兩道門的情況隨機猜測
換與不換贏的機率皆為50%。
(對換錯,對不換,錯換對,錯不換)

那麼今天主持人將一扇錯的門打開。
整個樣本空間變為只有四種場景:
(這個關鍵點一定要先確認)
觀眾選擇 另一扇門
對 錯1
對 錯2
錯1 對
錯2 對
四種場景,有換與不換兩種選擇
共有八種情況。

以列舉的方式來看:
因此不換為觀眾選擇:
(對,對,錯1,錯2)
不換但是對的機率為50%
換則為另一扇門:
(錯1,錯2,對,對)
換但是對的機率為50%

所以,換與不換贏的機率皆為50%。

因此不應該考慮,原本三道門的情況。
因為在主持人打開錯的門後,
樣本空間已經改變。

fishbudin 提到...

有個地方有問題喔!只有兩個選擇的情況下,不見得兩個的機率會是相等的。

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